Jumat, 18 November 2016
Struktur Aljabar Matematika Informatika
Contoh Soal Dan Pembahasan Struktur Aljabar
Matematika Infomatika
Kelompok 2
Anggota :
1. ANDO PRATAMA WIBAWA (50415703)
2. HETY NURBAETI (57415468)
3. M FATHI FADHILLAH (53415926)
4. MUHAMMAD AJI PRASETYO (54415474)
5. RAHMA DEA LESTARI (55415551)
6. RIZKY ESHA WAHYU UTAMA (56415182)
7. SETYO BAYU AJI (56415497)
UNIVERSITAS GUNADARMA
1.) A = {1,2,3,4}
Apakah A termasuk dalam semigrup dalam operasi penjumlahan (A,+) ?
Jawab :
· Tertutup :
Misal a=1 dan b=2
a*b = a+b
a*b = a+b
= 1+2 = 3 (tertutup)
· Asosiatif :
(a*b)*c =a*(b*c)
(1+2)+3 = 1+(2+3)
6 = 6 (asosiatif)
· Karena Himpunan A bersifat Tertutup dan Asosiatif maka termasuk dalam Semigrup
2.) Himpunan bil. Asli P didefinisikan operasi biner :
x*y = a+2b+ab
apakah (P,*) termasuk grup abel?
Jawab :
· Tertutup :
Misal a = 1 dan b =2
a*b = a+b
a*b = a+b
= 1+2 = 3 (tertutup)
· Asosiatif :
(a*b)*c =a*(b*c)
(a+2b+ab)*c = a+(b+2b+bc)
a+2b+ab+c+(a+2b+ab)c = a+b+2b+bc+a(b+2b+bc)
a+2b+ab+c+ac+2bc+abc = a+b+2b+bc+ab+2ab+abc
a+2b+c+ab+ac+2bc+abc = a+3b+bc+3ab+abc (tidak asosiatif)
· Karena Himpunan P tidak bersifat Asosiatif maka tidak termasuk dalam grup abel
3.) Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan operasi biner:
a * b = a + b + ab
Tunjukan bahwa (N, *) adalah suatu semigrup.
Jawab :
1. Tertutup
Ambil sebarang a, b * N, karena a, b* N, dan ab* N maka
a * b = a + b + ab * N.
Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.
2. Assosiatif
Ambil sebarang a, b, c * N, maka
(a * b) * c = (a + b + ab) * c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c = a + b + ab + c + ac + bc + ab
a * (b * c) = a * (b + c + bc) = a + (b + c + bc) + a (b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc
Maka untuk setiap a, b, c * N berlaku
(a * b) * c = a * (b * c)
Jadi, (N, *) merupakan suatu semigrup.
Jika operasi biner pada semigrup (S, *) tersebut bersifat komutatif, maka semigrup (S, *) disebut juga semigrup abel.
4.) Tunjukan bahwa H = {1, 2, 3} adalah bukan merupakan Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).
Jawab :
H = {1, 2, 3} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5},
sehingga H Í G.
Akan ditunjukan H = {1, 2, 3} memenuhi syarat-syarat suatu Grup :
Ambil sebarang nilai dari H
misalkan 2, 3 Î H
didapat : 2 + 3 = 5
5 ÎG tetapi 5 ÏH, sehingga 5 tidak tertutup terhadap operasi biner (H, +)
Maka H = {1, 2, 3} bukan merupakan Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
5.)
M = b + a – 2a
Apakah (M,*) adalah semi grup?
Jawab:
Ø Semi grup
M = { bilangan bulat}
M = { …, -2, -1, 0, 1, 2,…}
- Tertutup
Misal a = 7; b = 3
Misal a = 7; b = 3
M = a * b = b + a - 2a
= 3 + 7 - 2(7)
= 10 - 14
= -4
- Asosiatif
(a*b)*c = a*(b*c)
(b+a-2a)*c = a*(c+b-2b)
r*c = a*s
c+r-2r = s+a-2a
c +(b+a-2a)- 2(b + a-2a) = (c+b-2b)+ a-2a
c+b+a-2b+2a- 4a = c+b-2b+a-2a
c-b-a= c-b-a
Kesimpulan : (M,*) merupakan semi grup karena memiliki kiteria tertutup & asosiatif
6.) Ada sebuah notasi (R,%) dengan rumus “
Jawab:
Kesimpulan: (R,%) bukan semi grup karena tidak memenuhi kriteria asosiatif—(c % d) % e dengan c % (d % e) berlawanan hasil
7.) Operasi (R,*) berlaku untuk bilangan Real dengan a + b =
Jawab :
· Tertutup
a + b =
=
= 5 (Termasuk Real, jadi tertutup)
· Asosiatif
Kesimpulan : termasuk Semigrup
8.) Operasi (S,-) berupa a – b =
Jawab :
S = {bilangan asli}
Misa a = 5
B = 6
a – b =
= (5 + 6)
= 5,5 (tidak tertutup)
· asosisatif
Kesimpulan : karena tidak tertutup, maka bukan monoid.
9.) Himpunan bilangan asli dioperasikan kedalam (G,-) dengan a - b = a + b + 3. Tentukan apakah termasuk kedalam grup?
Jawab :
G = { bilangan asli}
a - b = a + b + 3
· Tertutup
misal a = 2 b = 3
a - b = a + b + 3
= 2 + 3 + 3
= 8 (Tertutup, karena merupakan bilangan asli)
· Asosiatif
· Identitas
a * e = a
2 * e = 2
e = 1 (identitas, karena 1 merupakan bilangan asli)
· Invers
a + a-1= e
2 + a-1= 1
a-1= 3
kesimpulan : termasuk grup
10.) D = { 0 , 1}
Apakah D termasuk Grup dalam operasi penjumlahan?
Jawab :
· Tertutup
a * b = a + b
= 0 + 1
= 1 ( Tertutup)
· Asosiatif
( a + b ) + c = a + (b + c)
(0 + 1) + 1 = 0 + (1 + 1)
2 = 2 (Asosiatif)
· Identitas
a * e = a
1 + e = 1
e = 1
· Invers
a + a-1= e
1 + a-1= 0
a-1= -1 (tidak sesuai)
kesimpulan : karena hanya memenuhi syarat Tertutup, Asosiatif, dan Identitas saja, maka G termasuk Monoid.
